Mathe in kurz: Vektoren

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Vektoren sind die Basis der analytischen Geometrie. Mit ihnen lassen sich viele Probleme im realen Leben lösen. Eine schnelle Grundlage mit Beispielrechnungen findet sich hier.

Gerade zwischen zwei Punkten

Häufig muss man zwei Punkte zu einer Gerade verbinden. Dies geschieht immer nach dem gleichen Schema. Im Beispiel sind die folgenden Punkte gegeben
\(\)\[A(2; -1; -1)~und~B(-3; 0; 4)\]\(\)
Eine Gerade benötigt immer 2 Vektoren: einen Orts-/Stützvektor sowie einen Richtungsvektor. Die Gerade hat den Aufbau:
\(\)\[\vec{x}~=~\vec{Ortsvektor}~+~t\cdot\vec{Richtungsvektor}\]\(\)
Die Gerade beginnt beim Ortsvektor. Dafür nehmen wir den ersten Punkt \(\)A\(\) und schreiben ihn als Vektor. Der Richtungsvektor ist die Operation von Punkt \(\)A\(\) zu Punkt \(\)B\(\).
\(\)\[\vec{x}~=~\left(\begin{array}{c} x_A \\ y_A \\ z_A \end{array}\right)~+~t\cdot\left(\begin{array}{c} x_B~-~x_A \\ y_B~-~y_A \\ z_B~-~z_A\end{array}\right)\]\(\)
Mit Werten eingesetzt bedeutet das folgendes
\(\)\[\vec{x}~=~\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)~+~t\cdot\left(\begin{array}{ccc} -3&-&2 \\ 0&-&(-1) \\ 4&-&(-1)\end{array}\right)~=~\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)~+~t\cdot\left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)\]\(\)

Liegt ein Wert auf der Geraden?

Sobald man eine Gerade zwischen zwei Punkten hat, kann man prüfen, ob ein weiterer Punkt auf dieser Geraden liegt.
\(\)\[\vec{x}~=~\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)~+~t\cdot\left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)~und~C(-8; 1; 7)\]\(\)
Um dies zu prüfen schreibt man den Punkt (als Vektor) und setzt diesen mit der Geraden gleich.
\(\)\[\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)~+~t\cdot\left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)~=~\left(\begin{array}{c} -8 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)\]\(\)
Daraus ergibt sich dann ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen.
\(\)\[\begin{array}{ccccc}2&+&(-5)\cdot t&=&-8\\-1&+&1\cdot t&=&1\\-1&+&5\cdot t&=&7\end{array}\]\(\)
Jede Gleichung wird nach der Unbekannten t umgestellt. Sobald überall der gleiche Wert t herauskommt liegt der Punkt auf der Geraden.

Winkel zwischen 2 Vektoren

In unterschiedlichen Figuren, wie Dreiecken, muss man häufig den Winkel zwischen zwei Geraden (bzw Vektoren) berechnen. Mit den beiden Vektoren nutzt kann man folgenden Weg zur Berechnung des Winkels.
\(\)\[cos~\alpha~=~\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{{|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|}}\]\(\)

Vektoren multiplizieren

Um den Term über den Bruch auszurechnen müssen die beiden Vektoren multipliziert werden. Dies funktioniert nach einfachem Schema:
\(\)\[\left(\begin{array}{c}2\\-1\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\0\\4\end{array}\right)~=~2\cdot (-3)~+~(-1)\cdot 0~+~(-1)\cdot 4~=~-10\]\(\)

Länge eines Vektors

Der Betrag meint auch die Länge eines Vektors. Die Formel für die Länge des Vektors wird am Satz des Pythagoras abgeschaut.
\(\)\[c^2~=~a^2~+~b^2~bzw~c~=~\sqrt{a^2~+~b^2}\]\(\)
Für die Vektorlänge bedeutet das:
\(\)\[|\left(\begin{array}{c}2\\-1\\-1\end{array}\right)|~=~\sqrt{2^2~+~(-1)^2~+~(-1)^2}\]\(\)

Flächeninhalt eines Dreiecks

Manchmal wird der Flächeninhalt des Dreiecks zwischen den gegebenen Punkten gefordert. Die Formel dafür sieht folgendermaßen aus.
\(\)\[A~=~\frac{1}{2}\cdot |\vec{AB}~x~\vec{AC} |\]\(\)

Das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren

Für die Fläche wird das Kreuzprodukt bzw Vektorprodukt benötigt.
\(\)\[\vec{AB}~x~\vec{AC}~=~\left(\begin{array}{c} -5\\1\\5\end{array}\right)~x~\left(\begin{array}{c}-10\\2\\8\end{array}\right)\]\(\)
Die Berechnung erfolgt wie folgendes Muster
\(\)\[\left(\begin{array}{c}-5\\1\\5\end{array}\right)~x~\left(\begin{array}{c}-10\\2\\8\end{array}\right)~=~\left(\begin{array}{ccc}1\cdot 2&-&5\cdot 2\\5\cdot (-10)&-&(-5)\cdot 8\\(-5)\cdot 2&-&1\cdot (-10)\end{array}\right)\]\(\)

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